FUNCIONES

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que mas nos interesa dentro del cálculo son las funciones.

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

            

Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si los  elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.

Donde se dice que f : A  ® B  (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

VARIABLE INDEPENDIENTE.

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE.

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

  

Ejemplos de funciones  y de ecuaciones :

La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,  ya que toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥, ¥).

 La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente:

Y(x)= x   (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)Gráfica

                         

Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto.

Podemos analizar que en este caso el domino es (-¥, ¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea f(x)=x²  conduce a  que solo el recorrido de la función mande a valores positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥)

                       

La siguiente ecuación no es función y² = x  

Su gráfico es el siguiente:

                              

Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.

                                                    FUNCIÓN CUADRATICA

 Objetivo: El estudiante comprende el concepto de función cuadrática y su gráfica.

Una función cuadrática es una función f : IR® IR cuyo criterio de asociación es de la forma:  f ( x ) =ax2+bx+c con a , b y c constantes reales, a¹ 0. Por ejemplo las siguientes son funciones cuadráticas: y=-2x2+4x-1 con a=-2, b=4, c=-1 y=5x2-4x+2 con a=5, b=-4, c=2 y=x2-3x con a=1, b=-3, c=0 y=-x2+4 con a=-1, b=0, c=4 La gráfica de una función cuadrática corresponde a una curva denominada parábola, a continuación se muestra la gráfica de las funciones del ejemplo anterior:

Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1. Vértice

x _v = - 4/ -2 = 2     y _v = -2² + 4· 2 - 3 = -1        V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

       (3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, -3)

               FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición.  Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.  Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en .  En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.   2.1.1  Teorema (Leyes de los Exponentes)  Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces:  1.   2.   3.   4.   5.  .  6 .  Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.  Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  .  Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en  su dominio.   .  10.Si 0< a < b ,se tiene:    .  Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.  11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que   . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.  Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.   2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.  En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2). Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,  crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.  Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.  El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.  En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.  Observación.  Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial  ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =  .   2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones  y  que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.  Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.  La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:   ,   La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:   ,   A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:          A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:  1.   2.   3.   4.   5.   6. senh2x =2senhx coshx  8.   9.   10.   11.   12.

                                        FUNCIÓN LOGARITMICA

Funciones logarítmicas Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0. Entonces se dan dos casos: Base mayor que la unidad (a > 1) Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1). En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está. Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características: (tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x) -Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R + En este tramo la función es negativa porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x " -Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real ya que se ve como la función llega de -" y continua hacia + ". -Continuas y crecientes: la función es creciente en todo su dominio porque... ...x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto. -Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas no es simétrica respecto del origen no es simétrica respecto del eje de ordenadas -Asintotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ), no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto. lim log 5 x = - " x ! 0 + lim log 5 x = + " x ! 0 - No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas. Base positiva y menor que la unidad (0 < a < 1) Comparación: Las tres funciones (log 1/7 x, log 1/5 x, log ½) pasan por el punto (1,0) al igual que en el otro tipo de función logarítmica ya que el log a 1 = 0, y también pasa por el punto (a,1) porque el log a a = 1. En la función logarítmica (cuando 0 < a < 1) cuanto mayor es el denominador de la base de logaritmo más se cerca del eje X está. Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es menor que la unidad (0 < a < 1) tienen las siguientes características: (tomando como ejemplo la función f (x) = log 1/5 x) -Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo Dom (f) = R + En este tramo la función es negativa porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x ". -Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real y va desde -" a + ". -Continua y decreciente: la función es decreciente en todo su dominio porque… x x' f(x) f(x') … x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto. -Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas. no es simétrica respecto del origen no es simétrica respecto del eje de ordenadas -Asíntotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ), no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto. lim log 5 x = + " x ! 0 + lim log 5 x = - " x ! 0 - No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.